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En esta charla, buscaremos introducir algunos aspectos del programa de Langlands. Estos permitirán dar el enunciado del principio de funtorialidad, aspecto central en el programa, y obtener algunos resultados de funtorialidad en característica positiva para el grupo especial ortogonal par no escindido.

Para ciertas curvas elípticas modulares de rango 1, definidas sobre un cuerpo de números totalmente real (incluyendo el caso de que la curva está definida sobre los racionales), se verifica la conjetura del cero excepcional, es decir, el orden de anulación de la función L p-ádica asociada es 2; por lo que es natural buscar una fórmula para la segunda derivada de dicha función p-ádica en 1. Diversos trabajos, a saber, los de Bertolini-Darmon, Mok y Venerucci, han demostrado que es posible interpretar la segunda derivada de la función L p-ádica de la curva elíptica, o una función L ad-hoc, en términos de ciertos puntos libres de torsión, llamados puntos de Heegner. El objetivo de esta charla es motivar el estudio de esta problemática inspirados en los trabajos de Bertolini-Darmon y Mok, presentando mejoras en la función L p-ádica que se quiere derivar, para así obtener eventualmente una fórmula explícita que permite expresar los puntos libres de torsión de la curva elíptica. Siguiendo las ideas de nuestros predecesores, se recurre a la teoría de las formas automórficas cuaterniónicas para alcanzar este fin. Si el tiempo alcanza, veremos algunos ejemplos de formas cuaterniónicas y algunos resultados de interpolación.

Sea K un cuerpo ordenado pitagórico (cada suma de 2 cuadrados es un cuadrado). Sea además esa propiedad hereditaria en K (es decir cada cuerpo ordenado que es extensión finita de K también es pitagórico). Sea F/K una extensión trascendental de dimensión uno. Hace poco (https://arxiv.org/abs/2302.11425 ) mostramos (j.c. Becher, Daans, Manzano, Zaninelli) que cada suma de cuadrados en F es una suma de 5 cuadrados. De hecho, cuerpos ordenados pitagóricos donde es propiedad hereditaria se clasifican en dos tipos, y si K es del primer tipo, logramos mostrar que cada suma de cuadrados en F es una suma de 3 cuadrados. Suponiendo además que K tenga solamente finitos ordenes, se busca calcular una cota N (que depende de la cantidad de los ordenes de K y el género de F/K) para el índice multiplicativo de las sumas de 2 cuadrados en las sumas de 3 cuadrados. En el caso donde F es un cuerpo de funciones de una curva hiperelíptica, se sabe una tal cota. Voy a hablar sobre un trabajo en progreso (j.c. Manzano) que busca extender esa cota a cuerpos de funciones F no necesariamente hiperelípticas - la idea de la demostración utiliza ingredientes e ideas de la demostración que cada suma de cuadrados es una suma de 3 cuadrados, aprovecho de empezar con dar un bosquejo de esa demostración.

Se hará una comparación de la expansión de Fourier de las formas automorfas clásicas (para G=SL(2,R)), con la de las formas automorfas holomorfas para G=SU(2,1).

La correspondencia de Shimura permite asociar a cada forma modular de peso medio entero una forma modular de peso entero. Distintos trabajos, comenzando por el de Waldspurger, han probado relaciones entre los coeficientes de Fourier de las formas de peso entero y los valores centrales de la L-serie de la forma de peso entero, torcidos por caracteres cuadráticos. En esta charla hablaremos sobre un trabajo en progreso junto con Sirolli y Tornaría, que busca extender las fórmulas de tipo Waldspurger a formas de Hilbert sobre cuerpos totalmente reales.

En la primera parte introduciremos un tipo de integrales p-ádicas conocidas como funciones zeta de Igusa. Mostraremos que muchas series generatrices asociadas a problemas aritméticos interesantes son funciones zeta de Igusa o generalizaciones de las mismas. También enunciaremos algunos resultados de racionalidad obtenidos por Igusa y Denef entre otros. En la segunda parte nos enfocaremos en un tipo especial de integrales p-adicas, llamadas integrales cono y estudiadas por du Sautoy y Grunewald. Mostraremos que estas sirven para expresar factores locales de algunas funciones zeta provenientes del álgebra. En particular discutiremos un tipo de función zeta que cuenta órdenes en un cuerpo de números y sus integrales cono asociadas. Mostraremos además que cuando las condiciones que describen el dominio de integración de una integral cono son monomiales, la integral se transforma en una series generatriz asociada a contar puntos en un cono racional en algún espacio euclídeo. De ahí el nombre de integral cono. En la última parte empezaremos discutiendo cómo trabajar en el caso no monomial. La técnica fundamental es la resolución de singularidades en la siguiente versión: dado un ideal I en una variedad V es posible modificar V birracionalmente de modo que I se vuelva localmente generado por monomios. Como cierre del curso mencionaremos algunas propiedades analíticas de series de Dirichlet que se obtienen como producto euleriano de integrales cono, y si el tiempo lo permite, mostraremos como aplicación que el grado del crecimiento asintótico de la distribución de órdenes en un cuerpo de números F solo depende del grado de F sobre los racionales.

Bibliografía: -Denef, J.. "The rationality of the Poincaré series associated to the p-adic points on a variety.." Inventiones mathematicae 77 (1984): 1-24. -du Sautoy, Marcus, and Fritz Grunewald. “Analytic Properties of Zeta Functions and Subgroup Growth.” Annals of Mathematics 152, no. 3, 2000, pp. 793–833. -Kaplan, N., Marcinek, J. and Takloo-Bighash, R. "Distribution of orders in number fields". Research in Mathematical Sciences 2, 6 (2015) -Sulca, D. On the degree of polynomial subgroup growth of nilpotent groups. Mathematische Zeitschrift 303, 8 (2023).

La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es uno de los principales problemas abiertos de la teoría de números. Fue descubierta a través de experimentos numéricos en las primeras computadoras EDSAC en Cambridge realizados entre 1958 y 1962, y es de las conjeturas más testeadas desde ese momento y todos los resultados numéricos obtenidos desde entonces concuerdan a la perfección con todos los aspectos de la conjetura. En esta charla haré una breve introducción histórica al problema y los resultados parciales conocidos.

Sean f y g dos formas modulares con el mismo cuerpo de coeficientes. En esta charla veremos cómo una congruencia entre las representaciones de Galois de f y g para un primo p suficientemente grande implica fuertes condiciones entre las álgebras de endomorfismos de las variedades abelianas asociadas a las formas f y g. Luego, veremos una de las posibles aplicaciones de dicho resultado para la prueba de la no existencia de soluciones de ecuaciones diofánticas.