En esta charla estudiaremos formas de Siegel cuspidales de grado 3 sobre los grupos de congruencia de nivel N y carácter de Dirichlet con conductor igual a N. Mostraremos que estas funciones están determinadas completamente por coeficientes de Fourier indexadas por triples de números primos.

En la última década, diferentes autores desarrollaron la teoría de funciones L p-ádicas y ciclos diagonales para el producto triple de GL(2), no solo construyendo los objetos correspondientes sino estableciendo las llamadas "leyes de reciprocidad", que expresan los valores de las funciones L p-ádicas fuera del rango de interpolación en términos de ciertos logaritmos de ciclos geométricos. Tras el desarrollo de la teoría de Hida superior por Pilloni, Loeffler y Zerbes plantearon cuestiones similares para el caso de GSp(4)xGL(2)xGL(2), donde existen más regiones y suceden fenómenos diferentes a los que aparecen en el caso del producto triple de GL(2). El objetivo de esta presentación es ofrecer una panorámica general del problema y explicar algunas de las contribuciones realizadas a la construcción de funciones L p-ádicas conjuntamente con David Loeffler.

Las curvas (orbifolds) modulares son uno de los objetos más importantes y estudiados en geometría aritmética, tanto por su utilidad en la clasificación de curvas elípticas, como por su papel central en la solución de problemas aritméticos como el último teorema de Fermat y el cálculo de la dimensión de espacios de formas modulares. Muchas generalizaciones de dichas curvas han sido exploradas y utilizadas por los matemáticos desde el siglo pasado. Ejemplos clásico de dichas generalizaciones son: las superficies modulares de Hilbert-Blumenthal para cuerpos cuadráticos reales y los orbifolds de Bianchi para cuerpos cuadráticos imaginarios, cuya geometría está íntimamente ligada con invariantes aritméticos como el número de clase de un campo de números. En esta charla, presentaremos un análogo de estos dos tipos de orbifolds para álgebras de cuaternios totalmente definidas y daremos una descripción explícita de las cúspides de dichas variedades. Esto es parte de un trabajo conjunto con Alberto Verjovsky.

El teorema de Duke sobre geodésicas establece la equidistribución de colecciones de geodésicas compactas en la curva modular compleja asociadas a órdenes en cuerpos cudráticos reales. Durante la charla exploraremos una posible versión p-ádica para este resultado.

Es bien sabido que, si E/Q es una curva elíptica, entonces existe una uniformización C -> E(C). Un poco menos conocido, es el análogo para cuerpos p-ádicos, a veces llamado la uniformización de Tate. En esta charla nos enfocaremos en una generalización de este teorema. Específicamente, las ideas de Mumford para la parametrización p-ádica de ciertas curvas algebraicas, llamadas curvas de Mumford.

Un trabajo famoso de Gross y Zagier (1984) describe la factorización de los valores (algebraicos) de la función j de Klein en puntos CM del plano hiperbólico. Dicho trabajo utiliza la relación entre la función j y cierta función de Green automorfa asociada al grupo modular. En esta charla presentaremos resultados relacionados, pero ahora en el contexto de funciones de Green automorfas para grupos de Bianchi y puntos CM en el espacio hiperbólico 3-dimensional. Este es un trabajo en progreso en colaboración con Özlem Imamoglu (ETH Zürich), Anna von Pippich (Universität Konstanz) y Markus Schwagenscheidt (ETH Zürich).

Sea X(Γ) una curva modular, y sea f:X(Γ) - > lP^1 un morfismo no constante. Abramovich (96') encuentra una cota inferior para el grado de f en términos del índice de SL_2(Z) con Γ. En esta charla mostraremos este resultado siguiendo Abramovich, realizando una comparación de las áreas de X(Γ) con respecto a dos métricas distintas; la métrica natural de Poincaré, y la métrica inducida a través de f de la esfera de Riemann. Para realizar esa comparación, estudiaremos el espectro del operador de Laplace definido en L^2(X(Γ)). Si el tiempo lo permite, discutiremos la generalización de la cota de Abramovich para curvas de Shimura.

En esta charla introduciremos los módulos de Drinfeld y describiremos sus espacios moduli. También mencionaremos cómo estos objetos son la base para una teoría de Hida para cuerpos de funciones.