Las curvas hiperelíptica de género dos sobre cuerpos finitos han sido un objeto de interés en criptografía. En esta charla, en particular veremos algunas aplicaciones del cálculo de isogenias a la criptografía post-cuántica y mostraremos algunos resultados recientes en el caso de \((2^n,2^n)\) y \((3^n,3^n)\)-isogenias.

En esta charla, presentaré criterios para la irreducibilidad de las potencias simétricas de ciertas representaciones ℓ-ádicas. Dado un cuerpo global de funciones F con grupo de Galois Gal(F/F), me enfocaré en representaciones ℓ-ádicas irreducibles Gal(F/F) → GL2(Q_ℓ), donde ℓ es un primo distinto a la característica de F. Explicaré cómo estos resultados dan lugar a criterios de cuspidalidad de representaciones automorfas. Esto es un trabajo en conjunto con L. Lomelí.

Resumen

Let \(K = \mathbb F_q(C)\) be the global field of rational functions on a smooth and projective curve \(C\) defined over a finite field \(\mathbb F_q\). Let \(G_1/K\) and \(G/K\) be two semisimple, simply connected groups over \(K\) which are forms of each other. We prove the equality of the Tamagawa number, \(\tau (G_1) = \tau (G)\). It is equal to \(1\). It is done by interpreting the elements in double cosets \(G(K)\backslash G(\mathbb A)/\mathcal K\) as points of certain moduli stacks \(\mathcal M_G/\mathbb F_q\). We relate the Tamagawa number to traces of the Frobenius acting on l-adic cohomology groups. To construct these moduli stacks we use explicit formulas for \(1\)-cocycles which represent the relevant Galois-cohomology classes. These \(1\)-cocycles respect certain parahoric subgroups corresponding to points in the Bruhat-Tits building.

This is joint work with R. Bitan, G. Harder and R. Köhl.

Las variedades de Hecke son espacios de moduli de formas automorfas p-ádicas de un grupo reductivo dado. Los puntos correspondientes a formas automorfas algebraicas son llamados puntos clásicos y su estudio tiene importancia en aritmética. En esta charla explicaremos algunos trabajos sobre la geometría de variedades de Hecke para GL(4), tales como suavidad en ciertos puntos clásicos y la densidad de estos puntos en componentes irreducibles.